MATERI VEKTOR PERTEMUAN KETIGA KELAS X IPA 1

PERTEMUAN KETIGA

C. Menjumlahkan Vektor dengan Metode Uraian

Dalam beberapa kasus, seringkali Anda menjumlahkan beberapa vektor yang lebih dari dua buah. Secara grafis, metode yang digunakan adalah metode poligon, seperti yang telah disinggung sebelumnya. Akan tetapi, bagaimanakah cara menentukan besar dan arah vektor resultannya? Salah satu metode yang digunakan adalah metode uraian, seperti yang akan di bahas pada sub-subbab berikut ini.

1. Menguraikan Vektor Menjadi Vektor Komponennya

Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus. Vektor-vektor baru hasil uraian disebut vektor-vektor komponen. Ketika sebuah vektor telah diuraikan menjadi vektor-vektor komponennya, vektor tersebut dianggap tidak ada karena telah diwakili oleh vektor-vektor komponennya. Sebagai contoh, ketika Anda menguraikan sekarung beras 50 kg menjadi dua karung dengan masing-masing 20 kg dan 30 kg, apakah karung yang berisi 50 kg tetap ada?

Gambar 12. memperlihatkan sebuah vektor A yang diuraikan menjadi dua buah vektor komponen, masing-masing berada pada sumbu-x dan sumbu-y. Ax adalah komponen vektor A pada sumbu-x dan Ay adalah komponen vektor A pada sumbu-y. Dengan mengingat definisi sin θ dan cos θ dari trigonometri, besar setiap komponen vektor A dapat ditulis sebagai berikut.

Ax = A cos θ dan Ay = A sinθ        (1-7)

Sementara itu, dengan menggunakan Dalil Pythagoras diperoleh hubungan :

        (1-8)

Selanjutnya, hubungan antara Ax dan Ay diberikan oleh :

        (1-9)

Contoh Soal 2 :

Sebuah vektor panjangnya 20 cm dan membentuk sudut 30° terhadap sumbu-x positif seperti diperlihatkan pada gambar.

Tentukanlah komponen-komponen vektor tersebut pada sumbu-x dan sumbu-y.

Kunci Jawaban :

Gunakan Persamaan (1–7) maka diperoleh :

A_x = Acos30^o

dan

A_y = Asin30^o

2. Menjumlahkan Vektor Melalui Vektor-Vektor Komponennya

Menjumlahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu-x dan sumbu-y pada koordinat kartesius. Metode seperti ini disebut metode uraian.

Berikut adalah tahapan-tahapan untuk mencari besar dan arah vektor resultan dengan metode uraian.

a. Buat koordinat kartesius x-y.

b. Letakkan titik tangkap semua vektor pada titik asal (0,0). Hati-hati, arah vektor tidak boleh berubah.

c. Uraikan setiap vektor, yang tidak berimpit dengan sumbu-x atau sumbu-y, menjadi komponen-komponennya pada sumbu-x dan sumbu-y.

d. Tentukanlah resultan vektor-vektor komponen pada setiap sumbu,

misalnya :

x Σ_R = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-x.

y Σ_R = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-y.

e. Besar vektor resultannya 

          (1-10)

dan arahnya terhadap sumbu-x positif

          (1-11)

Contoh Soal 3 :

Tiga buah vektor gaya masing-masing besarnya F1 = 10 N, F2 = 30 N, dan F3 = 20 N. Arah ketiga vektor tersebut ditunjukkan pada gambar. Tentukanlah resultan ketiga vektor tersebut (besar dan arahnya).

Kunci Jawaban :

Diketahui: F1 = 10 N, F2 = 30 N, dan F3 = 20 N.

Uraian setiap vektor pada sumbu-x dan sumbu-y, seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Besar komponen-komponen setiap vektornya adalah:

F_1x = F₁ cos 37° = 10 N × 0,8 = 8 N

F_1y = F₁ sin 37° = 10 N × 0,6 = 6 N

F_2x = F₂ cos 53° = 30 N × 0,6 = 18 N

F_2x = F₂ sin 53° = 30 N × 0,8 = 24 N

F_3x = F₃ sin 37° = 20 N × 0,6 = 12 N

F_3x = F₃ cos 37° = 20 N × 0,8 = 16 N

Resultan pada sumbu-x dan sumbu-y masing-masing:

ΣR_x = F_1x – F_2x – F^3x = 8 – 18 – 12 = –22 N

ΣR_y = F_1y – F_2y – F_3y = 6 + 24 – 12 = 18 N
Dengan demikian, besar resultan ketiga vektor tersebut adalah :

dan arahnya terhadap sumbu-x positif

Contoh Soal 4 :

Ditentukan dua buah vektor yang sama besarnya, yaitu F. Bila perbandingan antara besar jumlah dan selisih kedua vektor sama dengan 3 maka sudut yang dibentuk kedua vektor tersebut adalah ....

a. 30° 

b. 37° 

c. 45°

d. 60°

e. 120°

Kunci Jawaban :

Diketahui dua buah vektor besarnya = F

Besar jumlah vektor adalah :

Besar selisih kedua vektor adalah :

Jika perbandingan nilai R1 dan R2 adalah  maka sudut θ dapat dihitung sebagai berikut :

2F² + 2F² cosθ = 6F² – 6F² cosθ

8F² cosθ = 4F²

cosθ = 1/2

θ = 60°

Jawab: d

Contoh Soal 5 :

Tiga vektor masing-masing F1 = 10 N, F2 = 16 N, dan F3 = 12 N, disusun seperti pada gambar. Jika α = 37°, besar resultan ketiga vektor adalah ....

a. 5 N
b. 8 N
c. 10 N
d. 12 N
e. 18 N

Kunci Jawaban :

Diketahui: F1 = 10 N, F2 = 16 N, dan F3 = 12 N.

Besar komponen pada sumbu- F1 = F1 cosα = 10 cos 37° = 8 N
F2 = 16 N
F3 = 0 N

Besar komponen pada sumbu- F1 = F1 sinα = 10 sin 37° = 6 N
F2 = 0 N
F3 = 12 N

ΣF = 8 – 16 + 0 = 8

ΣF = 6 + 0 – 12  = – 6
Jawab: c 

Rangkuman :

1. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki nilai saja (contoh: jarak, laju, luas, volume, suhu, dan energi).
2. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. (contoh: perpindahan, kecepatan, percepatan, dan gaya).
3. Notasi atau simbol sebuah vektor dapat menggunakan satu atau dua huruf dengan tanda panah di atasnya atau dengan dicetak tebal.
4. Penjumlahan vektor dapat menggunakan metode grafis, analitis, poligon, dan ukuran.
5. Jika dua buah vektor membentuk sudut α , resultan dan selisih keduanya dapat dihitung dengan persamaan: